W zadaniu z kątem często wystarczy jeden rzut oka na okrąg trygonometryczny, aby rozstrzygnąć, czy wynik będzie dodatni, ujemny czy równy zero. Wyjaśniam, kiedy sinus jest dodatni, jak zapisać odpowiednie przedziały w stopniach i radianach oraz jak nie pomylić znaków przy kątach większych od 180°.
Najkrótsza reguła dotycząca znaku sinusa
- Sinus jest dodatni w I i II ćwiartce układu współrzędnych.
- Dla kąta od 0° do 360° dodatnie wartości występują w przedziale (0°, 180°).
- W radianach ten sam przedział ma postać (0, π).
- Na osi OX sinus wynosi zero, dlatego końce przedziałów nie należą do rozwiązania.
- Dla dowolnych kątów rzeczywistych zapisujemy to jako x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), gdzie k należy do liczb całkowitych.
Gdzie sinus przyjmuje wartości dodatnie
Najprostsza odpowiedź brzmi tak: sinus jest dodatni wtedy, gdy punkt na okręgu jednostkowym znajduje się nad osią OX. Dotyczy to pierwszej i drugiej ćwiartki, czyli górnej połowy okręgu.
W jednym pełnym obrocie, od 0° do 360°, dodatni sinus pojawia się dla kątów większych od 0° i mniejszych od 180°. Zapisujemy to jako 0° < x < 180°. Kąty 0° i 180° nie wchodzą do tego przedziału, ponieważ w obu przypadkach sinus wynosi dokładnie zero.
| Ćwiartka | Zakres w stopniach | Znak sinusa | Przykład |
|---|---|---|---|
| I | 0°-90° | dodatni | sin 30° = 1/2 |
| II | 90°-180° | dodatni | sin 150° = 1/2 |
| III | 180°-270° | ujemny | sin 210° = -1/2 |
| IV | 270°-360° | ujemny | sin 330° = -1/2 |
To zestawienie dobrze pokazuje, dlaczego sam fakt, że kąt jest ostry, nie wyczerpuje tematu. Także niektóre kąty rozwarte, na przykład 120° lub 150°, mają dodatni sinus.
Jak odczytać znak na okręgu jednostkowym
Okrąg jednostkowyma promień równy 1 i środek w początku układu współrzędnych. Punkt odpowiadający danemu kątowi ma współrzędne (cos x, sin x), więc sinus jest po prostu jego drugą współrzędną, czyli wysokością punktu nad osią OX.
Pierwsza ćwiartka
W zakresie od 0° do 90° punkt znajduje się nad osią OX. Jego druga współrzędna jest dodatnia, dlatego sinus również jest dodatni. Dotyczy to między innymi kątów 30°, 45° i 60°.
Druga ćwiartka
Od 90° do 180° punkt nadal leży nad osią OX, choć przesuwa się w lewo. Współrzędna x staje się ujemna, ale współrzędna y pozostaje dodatnia. Z tego powodu w II ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus ujemny.
Ja właśnie do tego obrazu wracam najczęściej, gdy ktoś myli znaki funkcji. Zapamiętywanie czterech oddzielnych reguł bywa mniej skuteczne niż zrozumienie, że sinus opisuje położenie punktu w pionie.
Ten sam warunek w stopniach i radianach
W szkole spotykamy dwa sposoby mierzenia kątów. Pełny obrót ma 360°, ale w zapisie radianowym odpowiada mu 2π. Półobrót to 180° albo π, dlatego dodatnie wartości sinusa występują w każdym przedziale od pełnego obrotu do jego połowy.
- w stopniach: 2k · 360° < x < 180° + 2k · 360°,
- w radianach: 2kπ < x < (2k + 1)π,
- w obu zapisach: k ∈ ℤ, czyli k jest dowolną liczbą całkowitą.
W praktyce drugi zapis jest krótszy i częściej pojawia się przy rozwiązywaniu nierówności trygonometrycznych. Przykładowo dla k = 1 otrzymujemy przedział (2π, 3π), a dla k = -1 przedział (-2π, -π).
Ujemne kąty nie zmieniają zasady. Kąt -30° oznacza obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara, a jego punkt końcowy leży w IV ćwiartce. Dlatego sin(-30°) = -1/2, czyli wartość jest ujemna.
Jak szybko sprawdzać znak w zadaniach
Przy pojedynczym kącie stosuję prostą procedurę. Najpierw ustalam, czy zadanie podaje stopnie, czy radiany, potem sprowadzam kąt do jednego pełnego obrotu i sprawdzam, w której ćwiartce znajduje się jego ramię końcowe.
- Określ jednostkę kąta.
- Jeśli kąt jest większy niż 360° lub 2π, odejmij pełne obroty.
- Jeśli kąt jest ujemny, dodawaj pełne obroty aż do uzyskania wygodnego zakresu.
- Rozpoznaj ćwiartkę.
- Odczytaj znak sinusa.
Przykład z kątem 120°
Kąt 120° znajduje się w II ćwiartce. Sinus jest tam dodatni, więc sin 120° > 0. Nie trzeba nawet znać dokładnej wartości funkcji, aby poprawnie określić jej znak.
Przeczytaj również: Pochodna funkcji krok po kroku - wzory, reguły i zastosowania
Przykład z kątem 7π/6
Radian 7π/6 odpowiada 210°, a więc punkt leży w III ćwiartce. Tam sinus jest ujemny, dlatego sin(7π/6) < 0. To dobry przykład na to, że sama obecność liczby π nie decyduje o znaku. Liczy się położenie kąta na okręgu.
Najczęstsze pomyłki przy wyznaczaniu znaku
Pierwszy błąd polega na włączaniu końców przedziału. Dla 0° i 180° sinus nie jest dodatni ani ujemny, tylko równy 0. Zapisujemy więc nawiasy okrągłe, a nie kwadratowe.
Druga pomyłka to utożsamianie dodatniego sinusa wyłącznie z kątami ostrymi. Kąty z II ćwiartki są rozwarte, ale ich punkt na okręgu jednostkowym nadal leży nad osią OX. Dlatego sinus 100° czy 170° pozostaje dodatni.
Często mylony jest również sinus z cosinusem. W II ćwiartce sinus ma znak dodatni, natomiast cosinus ujemny. Ja radzę nie uczyć się tego wyłącznie z pamięci, lecz sprawdzić położenie punktu względem osi. Taki sposób działa także przy nietypowych kątach.
Trzeba też uważać na okres funkcji. Sinus powtarza swoje wartości co 2π, więc znak dla kąta x jest taki sam jak dla x + 2kπ. Pominięcie pełnego obrotu może prowadzić do błędnego odczytania ćwiartki.
Jak wykorzystać tę zasadę przy nierównościach
W nierówności sin x > 0 nie szukamy jednej liczby, lecz wszystkich kątów, dla których wykres funkcji znajduje się nad osią OX. Rozwiązaniem jest zbiór przedziałów x ∈ (2kπ, (2k + 1)π) dla k ∈ ℤ.
Jeżeli zadanie ogranicza się do przedziału [0, 2π], rozwiązanie upraszcza się do x ∈ (0, π). Dla nierówności sin x ≥ 0 trzeba natomiast dołączyć miejsca zerowe, czyli 0, π i 2π w rozważanym zakresie.
To rozróżnienie ma znaczenie także na wykresie. Dla znaku większego od zera interesuje nas wyłącznie fragment nad osią, a dla znaku większego lub równego zero również punkty, w których wykres przecina oś.
Jedna obserwacja, która ułatwia zapamiętanie sinusa
Nie muszę pamiętać długiej listy kątów, gdy widzę okrąg jednostkowy. Wystarczy zasada, że sinus jest wysokością punktu. Wszystko, co znajduje się nad osią OX, daje wartość dodatnią, punkty na osi dają zero, a część pod osią odpowiada wartościom ujemnym.
W zadaniach ograniczonych do jednego obrotu zapamiętaj więc przedział (0, 180°), a w radianach (0, π). Przy kątach dowolnych dodawaj pełne obroty zapisane jako 360° albo 2π. Taki schemat jest prosty, działa w równaniach i nierównościach, a przede wszystkim pozwala samodzielnie kontrolować wynik.
