Najważniejsze reguły w kilku zdaniach
- Minimum lokalne występuje, gdy funkcja przechodzi z malejącej w rosnącą.
- Maksimum lokalne pojawia się przy przejściu z rosnącej w malejącą.
- Punkty podejrzane to miejsca, w których f'(x)=0 albo pochodna nie istnieje.
- Samo zerowanie się pochodnej nie gwarantuje ekstremum.
- Do szybkiego sprawdzenia można użyć drugiej pochodnej, ale przy wyniku równym zero trzeba wrócić do badania znaku pierwszej pochodnej.
Co oznacza maksimum i minimum lokalne
Funkcja ma maksimum lokalne w punkcie x0, jeżeli w pewnym otoczeniu tego punktu jej wartość w x0 jest największa. Nie porównujemy wtedy całego wykresu, lecz tylko niewielki fragment wokół x0. Analogicznie działa minimum lokalne, czyli najniższa wartość funkcji w najbliższym otoczeniu.
Najłatwiej wyobrazić to sobie jako spacer po pagórkowatym terenie. Szczyt niewielkiego wzniesienia może być maksimum lokalnym, nawet jeśli gdzieś dalej znajduje się wyższa góra. Z kolei zagłębienie może być minimum lokalnym, choć cały obszar ma jeszcze niżej położoną dolinę.
| Rodzaj wartości | Co porównujemy | Jak wygląda wykres |
|---|---|---|
| Maksimum lokalne | Wartości w najbliższym otoczeniu punktu | Funkcja rośnie, a potem maleje |
| Minimum lokalne | Wartości w najbliższym otoczeniu punktu | Funkcja maleje, a potem rośnie |
| Maksimum globalne | Wartości na całej dziedzinie lub badanym przedziale | Najwyższy punkt całego rozpatrywanego wykresu |
| Minimum globalne | Wartości na całej dziedzinie lub badanym przedziale | Najniższy punkt całego rozpatrywanego wykresu |
To rozróżnienie ma praktyczne znaczenie. Funkcja może mieć kilka minimów lokalnych, ale tylko jedno minimum globalne albo nie mieć go wcale. W zadaniach szkolnych często miesza się te pojęcia, dlatego ja zawsze sprawdzam najpierw, czy mowa o otoczeniu punktu, czy o całym przedziale.
Jak wyznaczyć punkty podejrzane o ekstremum
Najpewniejsza procedura dla funkcji jednej zmiennej składa się z kilku powtarzalnych kroków. Nie warto pomijać początku, czyli dziedziny, bo punkt spoza dziedziny nie może być miejscem ekstremum.
- Wyznacz dziedzinę funkcji i zaznacz, na jakim przedziale ją analizujesz.
- Oblicz pierwszą pochodną f'(x).
- Rozwiąż równanie f'(x)=0.
- Sprawdź także punkty dziedziny, w których pochodna nie istnieje.
- Zbadaj znak pochodnej po lewej i prawej stronie każdego punktu.
- Oblicz wartość funkcji, jeśli zadanie wymaga podania współrzędnych ekstremum.
Punkty spełniające równanie f'(x)=0 nazywa się często punktami stacjonarnymi. Są tylko kandydatami. Przykładowo dla f(x)=x3 mamy f'(0)=0, ale funkcja nadal rośnie po obu stronach zera i nie tworzy ani górki, ani dołka.
Najważniejsza jest więc zmiana znaku pochodnej. Schemat można zapamiętać bardzo prosto:
- plus, potem minus oznacza maksimum lokalne,
- minus, potem plus oznacza minimum lokalne,
- brak zmiany znaku oznacza brak ekstremum.
W praktyce dobrze działa tabela znaków. Wpisuję do niej miejsca zerowe pochodnej, wybieram po jednym punkcie testowym z każdego przedziału i sprawdzam, czy pochodna jest dodatnia, czy ujemna. Ten sposób jest nieco dłuższy niż użycie samej drugiej pochodnej, ale rzadziej prowadzi do błędnego wniosku.
Pierwsza i druga pochodna w rozpoznawaniu ekstremum
Badanie znaku pierwszej pochodnej
Jeżeli f'(x)>0, funkcja rośnie, a jeżeli f'(x)<0, funkcja maleje. Dlatego przejście z wartości dodatnich na ujemne oznacza, że wykres najpierw wspina się, a później opada. W punkcie zmiany znajduje się maksimum lokalne.
Przejście z wartości ujemnych na dodatnie działa odwrotnie. Funkcja najpierw maleje, a potem rośnie, więc otrzymujemy minimum lokalne. Ta metoda działa także wtedy, gdy druga pochodna jest równa zero albo nie daje rozstrzygnięcia.
Test drugiej pochodnej
Po znalezieniu punktu x0 można obliczyć f''(x0). Jeżeli funkcja jest odpowiednio różniczkowalna, otrzymujemy szybki test:
- gdy f''(x0)>0, w punkcie jest minimum lokalne,
- gdy f''(x0)<0, w punkcie jest maksimum lokalne,
- gdy f''(x0)=0, test nie rozstrzyga.
Ostatni przypadek jest częstą pułapką. Wynik zero nie oznacza braku ekstremum. Oznacza tylko, że trzeba użyć innej metody, najczęściej analizy znaku pierwszej pochodnej. Z mojego doświadczenia wynika, że uczniowie zbyt szybko traktują f''(x0)=0 jako odpowiedź, choć jest to dopiero sygnał do dalszego badania.
Przykłady, które pokazują różnicę między kandydatem a ekstremum
Funkcja z maksimum i minimum
Rozważmy funkcję f(x)=x3-3x. Jej pochodna wynosi:
f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)
Punkty stacjonarne to x=-1 oraz x=1. Znak pochodnej układa się następująco:
- dla x<-1 funkcja rośnie,
- dla -1
- dla x>1 funkcja ponownie rośnie.
W punkcie x=-1 następuje zmiana z plusa na minusa, więc mamy maksimum lokalne. Jego wartość wynosi f(-1)=2. W punkcie x=1 znak zmienia się z minusa na plus, dlatego występuje minimum lokalne o wartości f(1)=-2.
Funkcja z minimum, mimo że druga pochodna nie pomaga
Dla f(x)=x4 pochodna pierwsza to 4x3, a druga 12x2. W punkcie x=0 obie interesujące nas informacje wyglądają nietypowo, bo f''(0)=0. Mimo to f'(x) zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc funkcja ma w zerze minimum lokalne.
Ten przykład dobrze pokazuje, dlaczego test drugiej pochodnej jest tylko narzędziem pomocniczym. Gdyby zakończyć rozwiązanie na wyniku f''(0)=0, zadanie pozostałoby nierozstrzygnięte, chociaż odpowiedź jest jednoznaczna.
Funkcja bez ekstremum
Weźmy f(x)=x3. Pochodna f'(x)=3x2 zeruje się dla x=0, ale jest nieujemna po obu stronach tego punktu. Funkcja rośnie przed zerem i po zerze, a wykres jedynie zmienia sposób wyginania się.
Wniosek jest prosty: f'(x0)=0 nie wystarcza. Trzeba jeszcze sprawdzić zachowanie funkcji po obu stronach punktu.
Kiedy trzeba uważać na wynik
Największe problemy pojawiają się na końcach przedziału. Dla funkcji określonej na przedziale domkniętym [a,b] punkt a albo b może być lokalnym ekstremum względem dziedziny, nawet jeśli nie zachodzi tam klasyczny warunek f'(x)=0. Przy szukaniu wartości największej i najmniejszej na całym przedziale trzeba więc porównać punkty stacjonarne oraz końce przedziału.
Inna sytuacja występuje wtedy, gdy pochodna nie istnieje, na przykład dla f(x)=|x| w punkcie x=0. Wykres ma tam wyraźny ostry wierzchołek, a funkcja osiąga minimum lokalne. Brak pochodnej nie wyklucza ekstremum, dlatego takie punkty również należy sprawdzać.
Nie należy też mylić ekstremum lokalnego z punktem przegięcia. Punkt przegięcia opisuje zmianę wypukłości wykresu, a niekoniecznie zmianę kierunku jego ruchu. Funkcja x3 ma punkt przegięcia w zerze, lecz nie ma tam maksimum ani minimum.
Przeczytaj również: Przebieg zmienności funkcji krok po kroku na przykładzie
Krótka wskazówka dla funkcji dwóch zmiennych
Przy funkcji f(x,y) zamiast jednej pochodnej bada się pochodne cząstkowe. Kandydatów szuka się z układu fx(x,y)=0 oraz fy(x,y)=0, a potem korzysta z wyznacznika drugich pochodnych. Jeśli wynik testu jest zerowy, podobnie jak w funkcji jednej zmiennej, potrzebna jest dokładniejsza analiza zachowania funkcji.
Ten wariant warto traktować jako osobny poziom trudności. Do zadań szkolnych z funkcją jednej zmiennej wystarczy dobrze opanować dziedzinę, pierwszą pochodną, tabelę znaków i obliczanie wartości w znalezionych punktach.Jak nie zgubić się w zadaniu
Najczęstszy błąd polega na zapisaniu punktów, w których pochodna jest równa zero, i nazwaniu ich ekstremami. Bez badania znaku jest to tylko lista kandydatów. Drugie potknięcie to pominięcie dziedziny, przez co do rozwiązania trafiają wartości, dla których funkcja w ogóle nie istnieje.Ja stosuję prostą kontrolę końcową. Pytam, czy przed punktem funkcja rosła lub malała, co dzieje się po jego prawej stronie i czy podana wartość należy do dziedziny. Jeżeli odpowiedź na te trzy pytania jest jasna, rozwiązanie zwykle jest kompletne.
Warto również rozdzielić dwie informacje: argument ekstremum, czyli x0, oraz wartość ekstremum, czyli f(x0). W zadaniu można otrzymać maksimum w punkcie x=-1, ale jego wartość wynosić będzie na przykład 2. Zapisanie tylko jednej z tych liczb może zostać uznane za odpowiedź niepełną.
Od wykresu do pewnego rozwiązania
Najkrótsza droga do poprawnego wyniku prowadzi przez połączenie obrazu wykresu z rachunkiem. Wykres podpowiada, gdzie szukać, pierwsza pochodna pokazuje kierunek zmian, a druga pochodna może szybko potwierdzić rodzaj punktu.
Jeżeli zapamiętasz jedną zasadę, niech będzie nią ta: ekstremum rozpoznaje się po zmianie zachowania funkcji, a nie po samym zerze pochodnej. To właśnie ten szczegół odróżnia mechaniczne liczenie od rzeczywistego rozumienia maksimum i minimum lokalnego.
