Na kartkówce łatwo pomylić zwykłą regularność z prawdziwym ciągiem arytmetycznym. Wystarczy jednak sprawdzić różnice między kolejnymi wyrazami, a potem dobrać właściwy wzór na wyraz ogólny lub sumę. Pokażę tu, jak rozpoznawać takie ciągi, rozwiązywać typowe zadania i unikać błędów, które najczęściej zabierają punkty.
Najważniejsze informacje o regularnym ciągu liczb
- Stała różnica między kolejnymi wyrazami decyduje o tym, czy mamy do czynienia z takim ciągiem.
- Wyraz o numerze n obliczamy ze wzoru an = a1 + (n - 1)r.
- Suma pierwszych n wyrazów wynosi Sn = n(a1 + an) / 2.
- Różnica r > 0 oznacza wzrost, a r < 0 spadek wartości.
- W zadaniach najłatwiej pomylić numer wyrazu n z liczbą przejść między wyrazami, czyli n - 1.
Po czym rozpoznać ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny to uporządkowana lista liczb, w której od każdego wyrazu do następnego przechodzimy, dodając tę samą liczbę. Tę stałą wartość nazywam różnicą ciągu i oznaczam literą r.Przykład jest prosty: 4, 9, 14, 19. Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie 5, więc r = 5. Z kolei 20, 15, 10, 5 ma różnicę r = -5, dlatego ciąg maleje.
| Przykład | Różnice między wyrazami | Wniosek |
|---|---|---|
| 3, 7, 11, 15 | 4, 4, 4 | Jest to ciąg arytmetyczny, r = 4 |
| 18, 13, 8, 3 | -5, -5, -5 | Jest to ciąg malejący, r = -5 |
| 6, 6, 6, 6 | 0, 0, 0 | Jest to ciąg stały, r = 0 |
| 2, 4, 8, 16 | 2, 4, 8 | Nie jest arytmetyczny |
W praktyce zawsze zaczynam od obliczenia dwóch lub trzech różnic. To szybsze i bezpieczniejsze niż zgadywanie wzoru na podstawie samego wyglądu liczb. Szczególnie mylące bywają ciągi, które przez kilka pierwszych wyrazów rosną regularnie, ale później zmieniają odstęp.
Wzory, które naprawdę trzeba znać
Najważniejszy wzór pozwala obliczyć dowolny wyraz, nawet jeśli nie chcemy wypisywać wszystkich poprzednich liczb:
an = a1 + (n - 1)r
Symbol a1 oznacza pierwszy wyraz, r jest różnicą, a n wskazuje numer szukanego wyrazu. Występuje tu n - 1, ponieważ od pierwszego wyrazu do n-tego wykonujemy dokładnie n - 1 przejść.
Dla ciągu 5, 8, 11, 14 różnica wynosi 3. Dwunasty wyraz obliczę więc tak:
a12 = 5 + (12 - 1) · 3 = 5 + 33 = 38
Do sumowania większej liczby wyrazów służy wzór:
Sn = n(a1 + an) / 2
Można też użyć wersji, w której nie trzeba wcześniej obliczać ostatniego wyrazu:
Sn = n[2a1 + (n - 1)r] / 2
Oba wzory prowadzą do tego samego wyniku. Ja wybieram pierwszy, gdy znam pierwszy i ostatni wyraz, a drugi wtedy, gdy w zadaniu podano tylko pierwszy wyraz, różnicę i liczbę wyrazów.
Jak rozwiązywać zadania krok po kroku
Gdy trzeba znaleźć konkretny wyraz
Załóżmy, że a1 = 7, r = 4, a zadanie pyta o a15. Podstawiam dane do wzoru:
a15 = 7 + (15 - 1) · 4 = 7 + 56 = 63
Nie trzeba wypisywać czternastu wcześniejszych liczb. Najczęstszy błąd polega na użyciu 15 · 4 zamiast 14 · 4. Warto więc przed obliczeniem powiedzieć sobie na głos, że między pierwszym a piętnastym wyrazem jest 14 różnic.Gdy znane są dwa odległe wyrazy
Jeśli a4 = 17 i a9 = 42, różnicę można znaleźć bez odtwarzania całego ciągu. Od wyrazu czwartego do dziewiątego prowadzi 5 kroków, dlatego:
r = (42 - 17) / (9 - 4) = 25 / 5 = 5
Skoro a4 = a1 + 3r, to a1 = 17 - 15 = 2. Ciąg zaczyna się więc od 2 i ma różnicę 5. Ten sposób jest bardzo przydatny w zadaniach, w których brakuje pierwszego wyrazu.
Przeczytaj również: Dziedzina funkcji kwadratowej - kiedy wynosi ℝ?
Gdy trzeba obliczyć sumę
Dla liczb 3, 7, 11, ..., 79 mamy a1 = 3, an = 79, r = 4. Najpierw sprawdzam, ile jest wyrazów:
79 = 3 + (n - 1) · 4
Stąd n - 1 = 19, więc n = 20. Dopiero teraz liczę sumę:
S20 = 20(3 + 79) / 2 = 820
Wynik można szybko skontrolować. Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu wynosi 41, a 20 · 41 daje właśnie 820. Ta kontrola często pozwala wychwycić błąd rachunkowy.
Przykłady zastosowań poza zeszytem
Ten model pojawia się wszędzie tam, gdzie wartość zmienia się o taką samą liczbę, a nie o taki sam procent. Jeśli ktoś odkłada w pierwszym miesiącu 50 zł, w drugim 70 zł, w trzecim 90 zł i co miesiąc zwiększa wpłatę o 20 zł, powstaje ciąg o różnicy 20 zł.
Po sześciu miesiącach ostatnia wpłata wyniesie 150 zł, a suma wszystkich wpłat będzie równa:
S6 = 6(50 + 150) / 2 = 600 zł
Podobnie można opisywać liczbę miejsc w kolejnych rzędach sali, długość kolejnych odcinków albo plan treningowy, w którym każdego tygodnia dodajemy dokładnie 2 powtórzenia. Model działa jednak tylko wtedy, gdy przyrost jest stały.
| Rodzaj zmiany | Przykład | Właściwy model |
|---|---|---|
| Co miesiąc dodajemy 20 zł | 50, 70, 90, 110 | Ciąg arytmetyczny |
| Co miesiąc zwiększamy kwotę o 10% | 50, 55, 60,50, 66,55 | Ciąg geometryczny |
| Raz dodajemy 3, raz 5 | 10, 13, 18, 21 | Brak stałej różnicy |
To rozróżnienie ma znaczenie także w codziennych obliczeniach. Stała kwota prowadzi do modelu arytmetycznego, natomiast stały procent zwykle oznacza model geometryczny. Mylenie tych dwóch sytuacji daje pozornie rozsądny, ale błędny wynik.
Typowe błędy i prosty sposób kontroli
Najczęściej widzę cztery potknięcia. Pierwsze to pomijanie znaku przy różnicy ujemnej, drugie to użycie n zamiast n - 1, trzecie to podstawienie liczby wyrazów w miejsce ostatniego wyrazu, a czwarte to zastosowanie wzoru do ciągu, w którym różnice nie są stałe.- Oblicz różnicę przynajmniej w dwóch miejscach.
- Zapisz osobno wartości a1, r, n i ewentualnie an.
- Sprawdź, czy numer wyrazu oznacza n, a liczba przejść n - 1.
- Przy sumie upewnij się, że używasz liczby wyrazów, nie wartości ostatniego wyrazu.
- Po obliczeniu sprawdź wynik na prostym przykładzie lub przez średnią skrajnych wyrazów.
Pomaga mi także zapisanie kilku pierwszych wyrazów przed użyciem wzoru. Jedna linijka z konkretnymi liczbami szybko pokazuje, czy ciąg rośnie, maleje albo wcale nie spełnia warunku stałej różnicy.
Co zapamiętać przed kolejnym zadaniem
Najważniejsza jest nie sama lista wzorów, lecz kolejność myślenia. Najpierw sprawdzam różnicę, później rozpoznaję dane, a dopiero na końcu wybieram wzór na wyraz lub sumę.
Jeśli zapamiętasz trzy zależności, większość szkolnych zadań stanie się przewidywalna: an = a1 + (n - 1)r, Sn = n(a1 + an) / 2 oraz fakt, że każdy środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów. Właśnie ta ostatnia obserwacja często skraca rozwiązanie do jednego działania.
