Kiedy w zadaniu pojawia się próbka promieniotwórcza, masa albo aktywność po kilku godzinach czy latach, najważniejsze jest rozpoznanie, ile czasu połowicznego rozpadu minęło. Pokażę prosty wzór, sposób jego przekształcania oraz przykłady, dzięki którym łatwo obliczysz pozostałą ilość substancji i unikniesz typowych błędów.
Najważniejsze informacje o obliczeniach rozpadu
- Podstawowy wzór to N(t) = N0 · (1/2)t/T1/2.
- T1/2 oznacza czas, po którym pozostaje połowa początkowej liczby jąder.
- Po dwóch okresach zostaje 1/4 próbki, po trzech 1/8, a po czterech 1/16.
- Ten sam model można stosować do liczby jąder, masy i aktywności promieniotwórczej.
- Wynik zależy od tego, czy pytanie dotyczy ilości, która pozostała, czy ilości, która się rozpadła.
Jaki wzór opisuje czas połowicznego rozpadu
Najczęściej korzystam z prawa rozpadu promieniotwórczego zapisanego w postaci:
N(t) = N0 · (1/2)t/T1/2
Symbol N0 oznacza początkową liczbę jąder, N(t) liczbę jąder po czasie t, a T1/2 okres lub czas połowicznego rozpadu. Wykładnik t/T1/2 mówi, ile pełnych lub częściowych okresów minęło.
Jeżeli w zadaniu trzeba obliczyć sam czas połowicznego rozpadu, wzór można przekształcić do postaci:
T1/2 = t · log(1/2) / log(N(t)/N0)
W praktyce wygodniej zapisać go z użyciem logarytmu naturalnego:
T1/2 = t · ln 2 / ln(N0/N(t))
Obie wersje dają ten sam wynik. Ja zwykle najpierw sprawdzam, czy stosunek wartości tworzy prostą potęgę dwójki. Jeśli tak, logarytmy są niepotrzebne i rozwiązanie można zapisać znacznie szybciej.
Co naprawdę oznacza połowa próbki
Czas połowicznego rozpadu nie oznacza, że po tym czasie substancja całkowicie znika. Po jednym okresie pozostaje 50% wartości początkowej, po dwóch 25%, po trzech 12,5%, a po czterech 6,25%.
| Liczba okresów | Pozostała część próbki | Pozostały procent |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 100% |
| 1 | 1/2 | 50% |
| 2 | 1/4 | 25% |
| 3 | 1/8 | 12,5% |
| 4 | 1/16 | 6,25% |
To rozróżnienie jest ważne, bo zadania często podają ilość, która się rozpadła, a wzór dotyczy ilości, która pozostała. Jeśli rozpadło się 75% jąder, w obliczeniach wpisujesz 25% wartości początkowej, czyli N(t) = 0,25N0.
Rozpad pojedynczego jądra ma charakter losowy. Prawo działa bardzo dobrze dla dużej liczby jąder, ale nie przewiduje dokładnie, które konkretne jądro rozpadnie się jako pierwsze. Dlatego czas połowicznego rozpadu jest prawdopodobieństwem opisującym całą próbkę, a nie zegarem odmierzającym życie każdego atomu.
Jak obliczyć pozostałą ilość krok po kroku
Najprostsze zadania rozwiązuję w czterech ruchach. Najpierw zapisuję wartość początkową, potem czas, okres połowicznego rozpadu i dopiero na końcu podstawiam dane do wzoru.
- Ustal N0, czyli początkową masę, liczbę jąder albo aktywność.
- Odczytaj czas t oraz T1/2 w tych samych jednostkach.
- Oblicz liczbę okresów, czyli t/T1/2.
- Pomnóż wartość początkową przez odpowiednią potęgę 1/2.
Przykład z masą próbki
Próbka ma masę 1600 g, a jej czas połowicznego rozpadu wynosi 4 godziny. Ile pozostanie po 12 godzinach?
Najpierw obliczam liczbę okresów:
12 h / 4 h = 3
Minęły więc trzy okresy połowicznego rozpadu. Podstawienie wygląda tak:
m(t) = 1600 g · (1/2)3 = 1600 g · 1/8 = 200 g
Po 12 godzinach pozostanie 200 g. Można też dojść do tego wyniku etapami: 1600 g, następnie 800 g, 400 g i 200 g. Taki sposób jest szczególnie dobry na sprawdzianie, gdy czas stanowi dokładną wielokrotność okresu.
Przykład z liczbą jąder
Jeżeli początkowo było 8000 jąder, a minęły dwa okresy, nie trzeba wykonywać skomplikowanych rachunków:
N(t) = 8000 · (1/2)2 = 8000 · 1/4 = 2000
Wynik wynosi 2000 jąder. Ta sama metoda działa dla masy i aktywności, ponieważ wszystkie te wielkości są proporcjonalne do liczby jąder danego izotopu.
Jak wyznaczyć okres, gdy znamy ilość początkową i końcową
Czas połowicznego rozpadu można obliczyć także wtedy, gdy znamy czas obserwacji oraz zmianę ilości substancji. Najłatwiejsza sytuacja występuje wtedy, gdy końcowa wartość jest prostą częścią początkowej.
Przykład bez logarytmów
Po 18 dniach z próbki 80 g pozostało 10 g. Stosunek końcowej masy do początkowej wynosi:
10 g / 80 g = 1/8
Wartość 1/8 to trzy kolejne połowy, ponieważ (1/2)3 = 1/8. Oznacza to, że w ciągu 18 dni minęły trzy okresy połowicznego rozpadu, więc:
T1/2 = 18 dni / 3 = 6 dni
Przeczytaj również: Fale dźwiękowe - jak powstają i od czego zależy ich prędkość?
Przykład wymagający logarytmu
Załóżmy, że po 10 godzinach pozostało 30% początkowej ilości. Wtedy nie da się wskazać całkowitej liczby okresów bezpośrednio, dlatego używamy przekształconego wzoru:
T1/2 = 10 h · ln 2 / ln(1/0,30)
Po obliczeniu otrzymujemy około 5,76 godziny. Taki wynik jest zupełnie normalny. Czas obserwacji nie musi obejmować dokładnie jednego, dwóch czy trzech okresów.
Stała rozpadu i alternatywny zapis wzoru
W fizyce jądrowej często spotkasz także stałą rozpadu oznaczaną grecką literą λ. Określa ona prawdopodobieństwo rozpadu jądra w jednostce czasu i pozwala zapisać prawo rozpadu w bardziej ogólnej postaci:
N(t) = N0 · e-λt
Związek między stałą rozpadu a czasem połowicznego rozpadu wygląda tak:
T1/2 = ln 2 / λ
Można również zapisać relację odwrotną:
λ = ln 2 / T1/2
W zadaniach szkolnych częściej wybieram postać z potęgą 1/2, ponieważ od razu pokazuje sens kolejnych połówek. Zapis z liczbą e jest jednak wygodniejszy w obliczeniach zaawansowanych oraz wtedy, gdy podano stałą rozpadu zamiast okresu połowicznego.
Najczęstsze błędy przy obliczeniach
Najwięcej pomyłek nie wynika z trudnej matematyki, tylko z niewłaściwego odczytania treści. Przed podstawieniem danych sprawdzam przede wszystkim, czego dotyczy podana wartość końcowa.
- Mylenie pozostałej i rozpadniętej części. Jeśli rozpadło się 60%, w równaniu zostaje 40% wartości początkowej.
- Niezgodne jednostki czasu. Gdy okres podano w minutach, czas również trzeba wyrazić w minutach.
- Traktowanie rozpadu jak procesu liniowego. Po każdym okresie odejmujemy połowę aktualnej ilości, a nie połowę ilości początkowej.
- Założenie, że próbka osiągnie zero. Matematycznie wartość zbliża się do zera, ale w modelu wykładniczym nie staje się równa zeru po skończonym czasie.
- Pomijanie sensu wyniku. Jeśli po czterech okresach wychodzi więcej niż 100% próbki, rachunek lub interpretacja danych są błędne.
Trzeba też pamiętać, że czas połowicznego rozpadu jest cechą konkretnego izotopu. Nie można przyjąć jednej uniwersalnej wartości dla wszystkich substancji promieniotwórczych, nawet jeśli ich próbki mają podobną masę albo aktywność.
Co zmienia się razem z liczbą jąder
Prawo rozpadu dotyczy nie tylko samej liczby jąder. Jeżeli próbka nie jest uzupełniana ani mieszana z inną substancją, w tym samym tempie maleją jej masa promieniotwórczego izotopu oraz aktywność, czyli liczba rozpadów zachodzących w jednostce czasu.
| Wielkość | Przykładowy zapis | Znaczenie |
|---|---|---|
| Liczba jąder | N(t) | Ile jąder jeszcze nie uległo rozpadowi |
| Masa izotopu | m(t) | Ile promieniotwórczej substancji pozostało |
| Aktywność | A(t) | Ile rozpadów zachodzi w jednostce czasu |
Dlatego w zadaniu dotyczącym aktywności można zastosować analogiczny wzór:
A(t) = A0 · (1/2)t/T1/2
Jeśli aktywność wynosiła 640 Bq, a minęły trzy okresy połowicznego rozpadu, pozostanie 80 Bq. Nie oznacza to jednak, że każdy pojedynczy atom zachowuje się przewidywalnie. Wzór opisuje statystyczne zachowanie dużej próbki.
Jak szybko wybrać właściwy wzór w zadaniu
Gdy pytanie dotyczy ilości po określonym czasie, użyj postaci N(t) = N0 · (1/2)t/T1/2. Gdy trzeba znaleźć czas połowicznego rozpadu na podstawie dwóch pomiarów, zastosuj wersję z logarytmami albo policz liczbę połówek, jeśli stosunek wartości jest prostą potęgą 1/2.
Moja praktyczna rada jest prosta. Zanim sięgniesz po kalkulator, zapisz na marginesie, czy podana liczba opisuje to, co zostało, czy to, co uległo rozpadowi. Ten jeden krok usuwa najczęstsze źródło błędów i pozwala dobrać właściwy wykładnik.
Jeżeli potrafisz rozpoznać liczbę minionych okresów, większość szkolnych zadań rozwiążesz bez logarytmów. Logarytmy są potrzebne dopiero wtedy, gdy końcowa wartość nie odpowiada prostemu ułamkowi, na przykład 30% albo 17% wartości początkowej.
Najważniejszy schemat do zapamiętania brzmi więc: po jednym okresie zostaje połowa, po dwóch jedna czwarta, a po n okresach pozostaje (1/2)n wartości początkowej. To właśnie ten prosty mechanizm stoi za wszystkimi obliczeniami czasu połowicznego rozpadu.
